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双曲函数
双曲正弦函数，双曲余弦函数和双曲正切函数分别定义为： \[ \begin{align*} \sinh x &= \frac{e^x - e^{-x}}{2}\\ \cosh x &= \frac{e^x + e^{-x}}{2}\\ \tanh x &= \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \end{align*} \]其中 \(e\) 是自然对数底。这三个函数的图像如： 注意 \(\sinh x\) 和 \(\tanh x\) 是奇函数，\(\cosh x\) 是偶函数． 反双曲函数以双曲正弦函数为例，其他也可以类似求出。 要求 \(\sinh x\) 的反函数，我们令 \[ x = \sinh y = \frac{e^y - e^{-y}}{2} \]整理成关于 \(e^y\) 的二次方程，得 \[ (e^y)^2 - 2x e^y - 1 = 0 \]解出 \(e^y\) 为 \[ e^y = x \pm \sqrt{x^2 + 1} \]由于 \(e^y > 0\)，上式取正号。两边取自然对数，得 \[ y = \sinh^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \] 双曲函数的公式以下恒等式中，\(x,y\) 可以取任意复数 \[ \begin{align*} & \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\\ & \sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y\\ & \cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \end{align*} \] 双曲函数和三角函数的关系待补充！ |
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